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<!DOCTYPE html>

<title>Pfaffsche Form</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Pfaffsche Form</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In den <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematischen</a> Teilgebieten der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> bezeichnet Pfaffsche Form (nach <a href="Johann_Friedrich_Pfaff" title="Johann Friedrich Pfaff">Johann Friedrich Pfaff</a>)<a href="#cite_note-1">[1]</a>, Kovektorfeld<a href="#cite_note-2">[2]</a> oder kurz 1-Form<a href="#cite_note-Lee130-3">[3]</a> ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a> ist. Es ist eine <a href="Differentialform" title="Differentialform">Differentialform</a> vom Grad 1. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Wegintegrale</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> wird im Folgenden eine offene Teilmenge des euklidischen Raums bezeichnet. Eine Pfaffsche Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ordnet jedem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66f04c97c84237ad610995f15df5cd7fd0034d3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.882ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\in U}" loading="lazy"> eine <a href="Linearform" title="Linearform">Linearform</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{p}\colon \mathrm {T} _{p}U\to \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{p}\colon \mathrm {T} _{p}U\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/125388e9b21193751d7f3a69e7925f05f1fed788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{p}\colon \mathrm {T} _{p}U\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraumes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/860cd1160e8b8e9fc5e6f4e3c3f9a5a65ba02b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy"> des <a href="Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialraumes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}U}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} _{p}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1149857ffedc5f89bcc0246f8f061dfd342eb5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.52ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}U}" loading="lazy">. Der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/860cd1160e8b8e9fc5e6f4e3c3f9a5a65ba02b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy"> wird <a href="Kotangentialraum" title="Kotangentialraum">Kotangentialraum</a> genannt. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ba243344e6bbe8673f735ff1c87759d039c18b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.259ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy"> wird die <a href="Disjunkte_Vereinigung" title="Disjunkte Vereinigung">disjunkte Vereinigung</a> aller Kotangentialräume bezeichnet. Dieser Raum heißt <a href="Kotangentialb%C3%BCndel" class="mw-redirect" title="Kotangentialbündel">Kotangentialbündel</a>.

Eine Pfaffsche Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> ist also eine Abbildung

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega \colon U\to \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U,\quad p\mapsto \omega _{p}\in \mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d57b1fe901dd7c7afd8bbcac70c9c07271336f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:33.972ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \omega \colon U\to \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U,\quad p\mapsto \omega _{p}\in \mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Andere_Definitionen">Andere Definitionen</h2></div>

Sei weiterhin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine offene Teilmenge. Obige Definition ist zu jeder der folgenden Aussagen äquivalent:

<ul><li>Eine differenzierbare Pfaffsche Form ist eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }(U)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4551e29a7341d79592ff93adc25a23fb2744b0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }(U)}" loading="lazy">-lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)\to C^{\infty }(U)}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)\to C^{\infty }(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a0e12efc6cbcad0ee01df5ec9de5295ff5fbe79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)\to C^{\infty }(U)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67532a0a7fe099ddd2526d110e5d4d95ec2bcac3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \mathrm {(} TU)}" loading="lazy"> den Vektorraum der differenzierbaren Vektorfelder auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> bezeichnet. Stetige oder messbare Pfaffsche Formen sind analog definiert.</li>

<li>Die oben gegebene Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ba243344e6bbe8673f735ff1c87759d039c18b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.259ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{p\in U}\mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy"> wird als <a href="Kotangentialb%C3%BCndel" class="mw-redirect" title="Kotangentialbündel">Kotangentialbündel</a> bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale <a href="Vektorb%C3%BCndel" title="Vektorbündel">Vektorbündel</a> des <a href="Tangentialb%C3%BCndel" title="Tangentialbündel">Tangentialbündels</a>. Eine Pfaffsche Form kann damit als <a href="Schnitt_(Faserb%C3%BCndel)" title="Schnitt (Faserbündel)">Schnitt</a> des Kotangentialbündels definiert werden.</li>

<li>Die Pfaffschen Formen sind genau die kovarianten <a href="Tensorfeld" title="Tensorfeld">Tensorfelder</a> erster Stufe.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Totales_Differential_einer_Funktion">Totales Differential einer Funktion</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Totales_Differential" title="Totales Differential">Totales Differential</a></div>

Ein zentrales Beispiel einer Pfaffschen Form ist das totale Differential einer <a href="Differenzierbare_Funktion" class="mw-redirect" title="Differenzierbare Funktion">differenzierbaren Funktion</a>.

Sei also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/700a78d9ef320ebe1ae78d6ebf163eb4d470e764.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.387ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine differenzierbare Funktion und ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\in \mathrm {T} _{p}U}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\in \mathrm {T} _{p}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1ae151811b166777334f80b55ec82a9ad24e4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X\in \mathrm {T} _{p}U}" loading="lazy"> ein Tangentialvektor, so ist das totale Differential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} f}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f07af1376e3e468900fa251f847b5c0755e7dc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.571ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} f}" loading="lazy"> definiert als

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=Xf}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/739bf794a78721b4aa601eab8697856375f03b87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=Xf}" loading="lazy">,</dd></dl>

also gleich der <a href="Richtungsableitung" title="Richtungsableitung">Richtungsableitung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in Richtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">.

Ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c304323e25f102ad01e6c2509e28ebc27a507af8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to U}" loading="lazy"> ein Weg mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (0)=p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (0)=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38920cd7608bc9fba57b4ec4582966c0ce3f936b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (0)=p}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=X}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/594a17289001d0c6a123bc88e86e658f5d615723.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.313ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=X}" loading="lazy">, so ist

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}f(\gamma (t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58f686bc41cf39b8936932f82dc90707462013c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.868ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}f(\gamma (t))}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es gilt:

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \lambda =0,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4c7e190659e27605fbbe25725ba47a94f91e002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.556ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \lambda =0,}" loading="lazy"> falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b87bc1622689bc998795834cd65eecdb4955a785.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstante Funktion</a> ist;</li>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} (fg)=f\cdot \mathrm {d} g+g\cdot \mathrm {d} f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dc336b18a0a86d55d212849e454f0374fdf280e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} (fg)=f\cdot \mathrm {d} g+g\cdot \mathrm {d} f}" loading="lazy"> für differenzierbare Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in C^{\infty }(U)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in C^{\infty }(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9332c8b481358783601360848924921084a089e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.534ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,g\in C^{\infty }(U)}" loading="lazy">.</li></ul>

Ist auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ein <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> gegeben, so lässt sich das totale Differential von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> mit Hilfe des <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a> darstellen:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=\langle \mathrm {grad} \,f,X\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6290fbe27531f13e62c59b2c2e3c09c14be0b152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.345ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} f)_{p}(X)=\langle \mathrm {grad} \,f,X\rangle }" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Koordinatendarstellung">Koordinatendarstellung</h2></div>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}" loading="lazy"> ein <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystem</a> auf der offenen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">. Die Koordinaten können als Funktionen

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\colon U\to \mathbb {R} ,\quad p\mapsto x_{i}(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a023e6803efc1224d8406d2da9f2c95c03eeed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\colon U\to \mathbb {R} ,\quad p\mapsto x_{i}(p)}" loading="lazy"></dd></dl>

aufgefasst werden, die einem Punkt seine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} x_{1},\ldots ,\mathrm {d} x_{n}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} x_{1},\ldots ,\mathrm {d} x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f258c6f568378914adb2ad9afcbb8d4655b4eebc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} x_{1},\ldots ,\mathrm {d} x_{n}}" loading="lazy"> dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66f04c97c84237ad610995f15df5cd7fd0034d3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.882ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\in U}" loading="lazy"> ist

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(\mathrm {d} x_{1})_{p},\ldots ,(\mathrm {d} x_{n})_{p}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d4968ef80ebfa6b0ab3eb56873ec56fa70bc85f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.757ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{(\mathrm {d} x_{1})_{p},\ldots ,(\mathrm {d} x_{n})_{p}\}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine Vektorraumbasis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/860cd1160e8b8e9fc5e6f4e3c3f9a5a65ba02b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy">. Somit hat jeder Kotangentialvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in \mathrm {T} _{p}^{*}U}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in \mathrm {T} _{p}^{*}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7f01cfa143850553bbb64abd3939f7674f48936.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.746ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi \in \mathrm {T} _{p}^{*}U}" loading="lazy"> eine Koordinatendarstellung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}c_{i}(\mathrm {d} x_{i})_{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b103ca572e4f28eb1ad04972f3d006b33872222.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.323ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}c_{i}(\mathrm {d} x_{i})_{p}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16c70e117cb6492e84d78322fee03fedb3bb432e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }" loading="lazy">. Also kann auch jede Pfaffsche Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> auf eindeutige Weise durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\dotsb +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\mathrm {d} x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e41d74048817f666435545aff10274a464e1b32c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:37.992ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \omega =f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\dotsb +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\mathrm {d} x_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aada29e1f81a83b009d7f390cc7327b537963fc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.048ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> dargestellt werden.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Die totale Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d71097bf5f00c4116453f42be6ed7f74e74b3be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.387ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> hat die Darstellung

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/573d12fd9578ff5e7e79b02e6f933ae00978c86a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.377ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kurvenintegral">Kurvenintegral</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_des_Kurvenintegrals">Definition des Kurvenintegrals</h3></div>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30679f21899e27c5437370042c32eb6076c2bc63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.506ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow U}" loading="lazy"> ein stetig differenzierbarer <a href="Weg_(Mathematik)" title="Weg (Mathematik)">Weg</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> eine 1-Form auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy">. Dann ist das Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> entlang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> definiert als:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{a}^{b}\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/375ba1bb76323820a7b1c9e3759fdcc87f14ff35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.458ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{a}^{b}\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92ffa1fdb663e8557bd7ebb66a095b54ba9f57e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.535ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}}" loading="lazy"> die Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> nach dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometrische_Interpretation_des_Kurvenintegrals">Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals</h3></div>

Eine stetig differenzierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e04cf521c15b57427d8fc069ac1b68627de5e12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.235ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in [a,b]}" loading="lazy"> kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5442e0b9221e9617bc41a952450163b67081cda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.168ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t=a}" loading="lazy"> befindet man sich am Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9cf649dc87bdaa7c46020d2f6e0223596d31df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (a)}" loading="lazy">. Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9e57034f8f6216522204c202fd1056a959c6db6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (b)}" loading="lazy"> gefahren. Also zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14867a394e9930d986821f101ddffceb55898f70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=b}" loading="lazy"> ist der Endpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9e57034f8f6216522204c202fd1056a959c6db6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (b)}" loading="lazy"> der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/574924a56f0aad3a4ed8ec6e646ad5bf56c0b03f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy">.

Dieselbe Kurve kann auf unterschiedliche Weise durchfahren werden. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist, mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, erfolgt also die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> des Integrals.

Im Anschauungsraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> entspricht der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {w}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b6c48cdaecf8d81481ea21b1d0c046bf34b68ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {w}}}" loading="lazy">, für den

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ({\vec {x}})=\langle {\vec {w}},{\vec {x}}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af69666359bb1e26c75e2d96af1b4a300d07b378.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.52ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega ({\vec {x}})=\langle {\vec {w}},{\vec {x}}\rangle }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63192b74e5363a86586ac1c869a923d32407c2f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.903ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{a}^{b}\langle {\vec {w}},{\dot {\varphi }}(t)\rangle \,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f009e8741c4c39ae6d41cfcc74898002628e0e5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.143ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{a}^{b}\langle {\vec {w}},{\dot {\varphi }}(t)\rangle \,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist die Kurve <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)#Parametrisierung_einer_Kurve_nach_der_Weglänge" title="Länge (Mathematik)">nach der Bogenlänge parametrisiert</a>, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {w}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b6c48cdaecf8d81481ea21b1d0c046bf34b68ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {w}}}" loading="lazy"> auf die Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> an die Kurve:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int \|{\vec {w}}\|\cdot \cos \angle ({\vec {w}},{\vec {\tau }})\,\mathrm {d} s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcc32f1507f1927e444582f5e5de2c47d77463a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.567ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int \|{\vec {w}}\|\cdot \cos \angle ({\vec {w}},{\vec {\tau }})\,\mathrm {d} s}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurvenintegral_des_totalen_Differentials">Kurvenintegral des totalen Differentials</h3></div>

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} F}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0175742826ddcd8e8fa785131551f2aa43aefab3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.033ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} F}" loading="lazy"> entlang eines Weges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51f5e7b923cecd7059c1966b6f1795860b1f86ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.506ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to U}" loading="lazy"> gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varphi }\mathrm {d} F=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18dfa3e50e48bc43e4671a061d6793540aa0d112.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.945ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varphi }\mathrm {d} F=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aacbc2aab540360b1713ddb05cd86f56a2c2fe0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)}" loading="lazy">, ist somit gleich Null:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{\varphi }\mathrm {d} F=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f8c99ce3b5575959d2d4de726578976f37662f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.281ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \oint _{\varphi }\mathrm {d} F=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba929b6e8de150c675db3f2414d6996b72953143.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)=t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5013f4fbba1bce9a128e47ab8901336e06dda867.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.107ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=t}" loading="lazy"> ergibt sich der <a href="Fundamentalsatz_der_Analysis" title="Fundamentalsatz der Analysis">Fundamentalsatz der Analysis</a>, da das Integral auf der linken Seite

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varphi }\mathrm {d} F=\int _{a}^{b}F'(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1f7f4af750bf05b64b3efa8f48455c3373c1286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.575ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varphi }\mathrm {d} F=\int _{a}^{b}F'(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Stammfunktion">Stammfunktion</h2></div>

Jede stetige Differentialform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2eeec31b5ea1f560fe3fe0c99f7c75690d9a04c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.901ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\mathrm {d} x}" loading="lazy"> auf einem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cde0281fd5d2d1b103f9430aab29b7c2a2e324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.948ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"> besitzt nach dem <a href="Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" class="mw-redirect" title="Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a> eine <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a>, also eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} F=f\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} F=f\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c83917eb3a561b5c940e48d7bf623decd1628a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.033ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} F=f\mathrm {d} x}" loading="lazy">. Im mehrdimensionalen Fall gilt dies nicht mehr.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_der_Stammfunktion_für_Pfaffsche_Formen">Definition der Stammfunktion für Pfaffsche Formen</h3></div>

Eine stetig differenzierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon U\rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon U\rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bf37e1d180fc89d4a319f094cf14bf6361a96e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.849ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\colon U\rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy"> heißt Stammfunktion der Pfaffschen Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">, wenn

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} F=\omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/444b0d0bf5b0459f6deed9fee2a5c927f63cb9c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.578ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} F=\omega }" loading="lazy"></dd></dl>

gilt.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exakte_und_geschlossene_Formen">Exakte und geschlossene Formen</h3></div>

Eine 1-Form heißt exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathrm {d} x_{i}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathrm {d} x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16698c8561c5524452de093d877e2c65681915a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.033ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathrm {d} x_{i}}" loading="lazy"> heißt geschlossen, wenn gilt:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c10bf0f3825506c1e6ff1e2e091dd7b9b42f87f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.776ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4cbf8bbc622154cda8208d6e339495fe16a1f9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j}" loading="lazy"></dd></dl>

Allgemeiner kann ein <a href="Totales_Differential" title="Totales Differential">totales Differential</a> definiert werden, das jeder 1-Form eine <a href="Differentialform" title="Differentialform">2-Form</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \omega }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3147db820f16a7d610d03639f49d726fa1431420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.738ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \omega }" loading="lazy"> zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94beef0188c62c22491e78300a0b90442f9cd40f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.999ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}" loading="lazy"> gilt. Aus dem <a href="Satz_von_Schwarz" title="Satz von Schwarz">Satz von Schwarz</a> folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existenz_einer_Stammfunktion">Existenz einer Stammfunktion</h3></div>

Geschlossenheit einer Pfaffschen Form ist also eine <a href="Notwendige_Bedingung" class="mw-redirect" title="Notwendige Bedingung">notwendige Bedingung</a> für Exaktheit. Das <a href="Poincar%C3%A9-Lemma" title="Poincaré-Lemma">Poincaré-Lemma</a> macht eine Aussage darüber, wann geschlossene Pfaffsche Formen auch exakt sind. Die Voraussetzungen für die Umkehrung sind von globaler Natur: In einem <a href="Sterngebiet" title="Sterngebiet">sternförmigen Gebiet</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion – ist also exakt. Insbesondere ist jede geschlossene Pfaffsche Form lokal exakt.

Eine stetige Pfaffsche Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> auf einem Gebiet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> entlang jeder geschlossenen Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> verschwindet.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pfaffsche_Formen_auf_Mannigfaltigkeiten">Pfaffsche Formen auf Mannigfaltigkeiten</h2></div>

Bisher wurden Pfaffsche Formen auf einer offenen Menge des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> betrachtet. Es ist möglich, diese Definition auf <a href="Differenzierbare_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">differenzierbare Mannigfaltigkeiten</a> zu erweitern. Mannigfaltigkeiten sind <a href="Raum_(Mathematik)" title="Raum (Mathematik)">Räume</a> die lokal wie der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> aussehen. So kann man Pfaffsche Formen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ebenfalls als Schnitt im Kotangentialbündel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}M}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02e9815aa22bca801ff9618269fbbb247575ae86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T^{*}M}" loading="lazy"> definieren.<a href="#cite_note-Lee130-3">[3]</a>

Gleichungen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2bb95bb72b12e6b52d1e87c670c3f423041bccc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =0}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> eine Pfaffsche Form ist, werden Pfaffsche Gleichungen genannt. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subset M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subset M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6cb0dc49887ae94e832ba3da203a7f48b957296.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\subset M}" loading="lazy"> eine (<a href="Immersierte_Untermannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Immersierte Untermannigfaltigkeit">immersierte</a>) <a href="Untermannigfaltigkeit" title="Untermannigfaltigkeit">Untermannigfaltigkeit</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">, so heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Integralmannigfaltigkeit, wenn ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> existiert, so dass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in T_{p}N}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in T_{p}N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d96acd1f82f6513a2b8f0e34bb70654d632ba8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi \in T_{p}N}" loading="lazy"> die Pfaffsche Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{p}(\xi )=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{p}(\xi )=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62696147233efb900b804cf144716d8c022cfd56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.605ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{p}(\xi )=0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df1de40b779ede9691e4ca18fb3fbc223ad4df0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.163ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\in N}" loading="lazy"> erfüllt ist.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Beispiele_für_Pfaffsche_Formen">Physikalische Beispiele für Pfaffsche Formen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kraftfeld">Kraftfeld</h3></div>

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba43d5ef9a9f2a4c5f769e7deb28b6905e56e708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.796ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> einen Kraftvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> zu. Jedem Kraftvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> kann eine lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle }">

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33e09382accdb9edb02d469fadda5a3868c775c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.292ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle }" loading="lazy"> zugeordnet werden, die mittels des <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarproduktes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0696fbdc4c18403fab4a296b79b4256c35b1eb16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }" loading="lazy"> einen beliebigen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> linear auf den Zahlenkörper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86dbaf7593cb1a89a4d90d740b2c8b010551cbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{i}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/608b3c5e448c465889913a88a105e38e7316fba7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.26ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,2}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy"> die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle =\sum _{i=1}^{3}F_{i}dx_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f673daa7569d7fc2a2010e6b3b3d098af0809de2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.772ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle =\sum _{i=1}^{3}F_{i}dx_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Differentiale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fcf9025bc3f34040616197a3819d50741aeb031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.345ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle dx_{i}}" loading="lazy"> sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle {\vec {e}}_{i},\cdot \right\rangle =dx_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c506fe7c9481e04e09b648380996116d34ceb2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\langle {\vec {e}}_{i},\cdot \right\rangle =dx_{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\varphi }}\colon \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\varphi }}\colon \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ac134ab5073c57c7feddb8de62bc7c13c06d84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\varphi }}\colon \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> von einem Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\varphi }}(a)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\varphi }}(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea1262fa95504bdc6501db78a43d776f452d57f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\varphi }}(a)}" loading="lazy"> zu einem Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\varphi }}(b)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\varphi }}(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f06004a944be4bf11c0c9d0939262de5ebcb5bfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\varphi }}(b)}" loading="lazy"> zu bewegen. Die Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=\int _{\vec {\varphi }}\left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle =\int _{a}^{b}\left\langle {\vec {F}}({\vec {\varphi }}(s)),{\dot {\vec {\varphi }}}(s)\right\rangle \mathrm {d} s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fd8fd233a9bb7a09c0ebab28ab6dcdb47bae4be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:40.822ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle W=\int _{\vec {\varphi }}\left\langle {\vec {F}},\cdot \right\rangle =\int _{a}^{b}\left\langle {\vec {F}}({\vec {\varphi }}(s)),{\dot {\vec {\varphi }}}(s)\right\rangle \mathrm {d} s}" loading="lazy">.</dd></dl>

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> wiederum die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> dar. Es gilt:

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=-\mathrm {grad} \,V=-\nabla \,V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e705fb6cc0f9145c5e76b5e142d526587f7610bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.398ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=-\mathrm {grad} \,V=-\nabla \,V}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Thermodynamik">Thermodynamik</h3></div>

In der Thermodynamik werden Gesetzmäßigkeiten meist als Beziehungen zwischen 1-Formen formuliert. Den Gleichgewichtszuständen eines <a href="Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">thermodynamischen Systems</a> entsprechen im mathematischen Modell Punkte einer reellen Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82f5a8103305f84804202c9f24ec5f1e1318fd13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z_{g}}" loading="lazy">. Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Gleichgewichtszustandes reicht bei einfachen thermodynamischen Systemen die Angabe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Arbeitskoordinaten und dem Wert der inneren Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> des Systems aus. Diese Größen bilden Tupel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (U,\alpha _{1},...,\alpha _{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (U,\alpha _{1},...,\alpha _{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1abc2e837be58917316de6c4eb88207878828f51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.043ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (U,\alpha _{1},...,\alpha _{n})}" loading="lazy"> eines Koordinatensystems, das die Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82f5a8103305f84804202c9f24ec5f1e1318fd13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z_{g}}" loading="lazy"> eineindeutig auf ein Gebiet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {U}}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {U}}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6707570108636da44a9a06e181abf74925dacb37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-left: -0.038ex; width:9.731ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {U}}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}" loading="lazy"> abbildet. Die Arbeitsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/918bdccd822f89b22c0ccf63ae4ace6a00f61cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}" loading="lazy"> sind je nach dem betrachteten konkreten System etwa Volumenwerte oder andere messbare Größen, mit welchen im mathematischen Modell der Zustand der äußeren Bedingungen des Systems erfasst werden kann.<a href="#cite_note-LudwigBd4Thermostatik-8">[8]</a><a href="#cite_note-TheodoreFrankel_GeometryOfPhysics_6.3-9">[9]</a>

Wenn bei einer <a href="Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung" title="Adiabatische Zustandsänderung">adiabatischen Zustandsänderung</a> allein die Arbeitsparameter quasistatisch verändert werden, so dass dem System praktisch zu jedem Zeitpunkt ein Gleichgewichtszustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in Z_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in Z_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a84cde9055fd1ee4e5bf76df7e804a4d5f714cb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\in Z_{g}}" loading="lazy"> zugeordnet werden kann, ergibt ein Wegintegral längs des Prozessweges in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82f5a8103305f84804202c9f24ec5f1e1318fd13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z_{g}}" loading="lazy"> über eine 1-Form der Gestalt

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(z)d\alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d846812b1367ebcb1d75fccf2c607290bbce227.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.258ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(z)d\alpha _{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

die an dem System bei dem Prozess geleistete Arbeit und damit die Zunahme der inneren Energie. In einführenden Lehrbüchern der Thermodynamik wird häufig das einfache thermodynamische System bestehend aus einem Gas in einem <a href="Kolben_(Technik)" title="Kolben (Technik)">Kolben</a> als Beispiel betrachtet. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Arbeitskoordinate nämlich das Volumen, die obige 1-Form reduziert sich auf den Ausdruck

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -pdV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d677a04bc59a9ea5d62201567cb8bd942b9df069.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.981ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -pdV}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}(z)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4549c16eece7ba7b2a45b986c62d9ac88a6bd91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.267ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}(z)}" loading="lazy"> ist gleich dem Negativen des Gasdrucks: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}(z)=-p(z)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}(z)=-p(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27ec20a522674cb9cecd7fa2e7a5735543f93ce1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.241ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}(z)=-p(z)}" loading="lazy">.

Die innere Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ist als eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems eine reelle Funktion über der Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82f5a8103305f84804202c9f24ec5f1e1318fd13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z_{g}}" loading="lazy">. Änderungen der inneren Energie werden durch ihr totales Differential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dU}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dU}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad9083e6f626fcc9e4217e8fd3d751e1126da9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dU}" loading="lazy"> beschrieben. Für konkrete einfache thermodynamische Systeme lässt sich jeweils eine 1-Form finden, welche die Energieänderungen durch verschiedene äußere Beeinflussungen und Stoffumwandlungen in dem System erfasst. Die 1-Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dU}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dU}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad9083e6f626fcc9e4217e8fd3d751e1126da9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dU}" loading="lazy"> lässt sich durch

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dU=TdS+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(z)d\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(z)dN_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fba02c9873491c370ebf401f60d69348eb2e9621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:41.33ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle dU=TdS+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(z)d\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(z)dN_{j}}" loading="lazy"></dd></dl>

darstellen. In dieser Beziehung beschreibt der Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle TdS}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle TdS}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d00f1599525e40eacf10f3ef43c9bc1767016b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.351ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle TdS}" loading="lazy"> die dem System zugeführte Wärme, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die Temperatur und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> die Entropie des Systems sind. Der zweite Term auf der rechten Seite berücksichtigt, die oben erläuterte Arbeit an dem System mittels äußerer Vorrichtungen. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad2acf1b7815a0fa80d9148d2607d8271507e3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.631ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}" loading="lazy"> im dritten Term entsprechen den Stoffmengen der Reinstoffe jeweils getrennt für die einzelnen Phasen des Systems und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{1},...,\mu _{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{1},...,\mu _{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c71ae956a1e81053d85eb4f884f74d97b3142d39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.702ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{1},...,\mu _{m}}" loading="lazy"> sind die zugeordneten <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemischen Potentiale</a>. Im Allgemeinen müssen die Stoffmengen einen Satz von <a href="St%C3%B6chiometrie" title="Stöchiometrie">stöchiometrischen</a> Bilanzgleichungen befriedigen. Stoffmengen, die durch diese stöchiometrischen Gleichungen unbestimmt bleiben, werden in dem oben betrachteten Tupel als zusätzliche Koordinaten berücksichtigt.<a href="#cite_note-Stierstadt_1-10">[10]</a>

Da bei thermodynamischen Fragestellungen oft nicht die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c174c27bbfe14af19f9e5eee515cde8c94109c2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.234ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad2acf1b7815a0fa80d9148d2607d8271507e3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.631ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{1},...,N_{m}}" loading="lazy"> konstant gehalten oder im Experiment kontrolliert verändert werden können, sondern eher andere Größen wie die Temperatur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> oder der Druck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, wechselt man je nach Fragestellung oft zu anderen Koordinaten und schreibt die zugehörigen 1-Formen in anderen Koordinatendifferentialen, hierbei ist die Kenntnis der <a href="Thermodynamisches_Potential" title="Thermodynamisches Potential">thermodynamischen Potentiale</a> von Vorteil.<a href="#cite_note-Stierstadt_1-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Otto_Forster" title="Otto Forster">Otto Forster</a>: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> und Anwendungen. 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.</li>

<li><a href="Martin_Schottenloher" title="Martin Schottenloher">Martin Schottenloher</a>: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch mathematischen Physik). Vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6.</li>

<li><a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: Analysis 2. Springer, 5. Auflage, 2006, ISBN 9783540350774, Kapitel Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen, Kurvenintegrale, S. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=x9qbBgAAQBAJ&pg=PA177">177–196</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Günther J. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-519-00515-8, S. 63, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=yyiqlI8euUsC&pg=PA63&hl=de">books.google.de</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Rainer Oloff: <cite style="font-style:italic">Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie</cite>. 5. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-1007-6, S. 39.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Pfaffsche+Form&rft.au=Rainer+Oloff&rft.btitle=Geometrie+der+Raumzeit%3A+Eine+mathematische+Einf%C3%BChrung+in+die+Relativit%C3%A4tstheorie&rft.date=2010&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834810076&rft.pages=39&rft.pub=Vieweg%2BTeubner+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Lee130-3">↑ <a href="#cite_ref-Lee130_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Lee130_3-1">b</a> John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 130.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Otto_Forster" title="Otto Forster">Otto Forster</a>: Analysis. Band 3: Integralrechnung im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1, S. 193–194.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 182.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 183–184.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <cite style="font-style:italic">Pfaffsche Gleichung</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Pfaffsche+Form&rft.atitle=Pfaffsche+Gleichung&rft.btitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.date=2000&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=3827404398&rft.place=Mannheim%2FHeidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

Günther Ludwig: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik</cite>. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1 Thermostatik (1.1 Der Zustandsraum und 1.2 Der Energiesatz), S. 6–29.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Pfaffsche+Form&rft.atitle=XIV+%C2%A7+1+Thermostatik+%281.1+Der+Zustandsraum+und+1.2+Der+Energiesatz%29&rft.au=G%C3%BCnther+Ludwig&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Grundlagen+der+theoretischen+Physik&rft.date=1979&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3528091843&rft.pages=6-29&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+%26+Sohn&rft.volume=4" style="display:none">

</li>

<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Theodore_Frankel" class="extiw external" title="en:Theodore Frankel">en:Theodore Frankel</a>: <cite style="font-style:italic">The Geometry of Physics – An Introduction</cite>. korrigierte und ergänzte Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-38753-1, 6.3 Heuristic Thermodynamics via Caratheodory, S. 178–187.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Pfaffsche+Form&rft.atitle=6.3+Heuristic+Thermodynamics+via+Caratheodory&rft.au=%3Aen%3ATheodore+Frankel&rft.btitle=The+Geometry+of+Physics+-+An+Introduction&rft.date=2001&rft.edition=korrigierte+und+erg%C3%A4nzte&rft.genre=bookitem&rft.isbn=0521387531&rft.pages=178-187&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

Klaus Stierstadt: <cite style="font-style:italic">Thermodynamik für das Bachelorstudium</cite>. 2. Auflage. Springer, Berlin, New York 2018, 9 Thermodynamik der Stoffe und 11 Chemisches Potenzial, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-55716-7">10.1007/978-3-662-55716-7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Pfaffsche+Form&rft.atitle=9+Thermodynamik+der+Stoffe+und+11+Chemisches+Potenzial&rft.au=Klaus+Stierstadt&rft.btitle=Thermodynamik+f%C3%BCr+das+Bachelorstudium&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-55716-7&rft.edition=2&rft.genre=bookitem&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none">

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